▲旬のキーワード《xn》と本日のメモ

皆さん お早うございます!

ゴホン、早起きは三文の得ですね。

割とよくニュースなどや、その他でも「xn」についてが話されているということらしいんですよね…。

それでは、「xn」に関連する動画をご紹介しておきます。

Shoulder Examination / Subacromial, Cuff – Everything You Need To Know – Dr. Nabil Ebraheim

なんてこったい。

ちなみに・・・

【質問内容】

実数 a, b に対し平面上の点Pⁿ(xⁿ, yⁿ )を (x0, y0, )=(1, 0) (xⁿ+1 、yⁿ+1 )=(axⁿ-byⁿ、bxⁿ+ayⁿ) (ⁿ=0,1,2,…) によって定める。この時次の条件(i)、(ii)が共に成り立つような(a,b)を全て求めよ。 (i) P0=P6 (ii) P0, R1, P2, P3, P4, P5は相異なる。

【ベストアンサーに選ばれた回答】

添え字と累乗の区別はしっかりしましょう。 以下では、 添え字をP(n)のように括弧で表し、点の座標はP(0)=[x(0),y(0)]=[1,0]のようにかぎ括弧を使って表すことにします。 また、 行列を[{1,2},{3,4}]のように表すことにします。この行列は1行1列成分(11成分)= 1、(12成分)=2、(21成分)=3、(22成分)=4を表しています。 ———- ここから解法に入ります。 まず、与えられた関係式は次のように書けます。 [x(n+1),y(n+1)]=[{a,-b},{b,a}][x(n),y(n)] ここで行列Aを A=[{a,-b},{b,a}]とすると関係式はP(n+1)=AP(n)…①となる。 いま、P(0)=[1,0]であるから、①より P(1)=AP(0) P(2)=AP(1)=A^2 P(0) P(3)=AP(2)=A^3 P(0) P(4)=AP(3)=A^4 P(0) ・・・ となり、このように順々に点P(6)の座標まで求めることができます。 ここで行列Aについて、6乗くらいまでなら地道に計算しても算出できますが、Aを対角化して、A^nを求めることをします。 行列Aの固有値をλとすると固有値方程式はdet[{a-λ,-b},{b,a-λ}]=0 ∴λ=a±ib(iは虚数単位) ●λ=a-ib(=sとする)のとき 固有ベクトルをv1↑=[v1(x),v1(y)]とすると、 [{ib,-b},{b,ib}][v1(x),v1(y)]=[0,0] よって、 v1↑=[v1(x),v1(y)]=[-i,1] ●λ=a+ib(=tとする)のとき 固有ベクトルをv2↑=[v2(x),v2(y)]とすると、 [{-ib,-b},{b,-ib}][v2(x),v2(y)]=[0,0] よって、 v2↑=[v2(x),v2(y)]=[i,1] ゆえに、 行列QをQ=[{-i,i},{1,1}]とすると、この逆行列Q^(-1)は、Q^(-1)=(1/2)[{i,1},{-i,1}]となり、これらを用いて、 Q^(-1)AQ=[{s,0},{0,t}]…② となる。 ②の両辺をn乗すると、 (左辺)=(Q^(-1)AQ)^n=Q^(-1)A^n Q (右辺)=[{s^n,0},{0,t^n}] ゆえに、 Q^(-1)A^n Q=[{s^n,0},{0,t^n}]…③ ③の両辺に、左からQを,右からQ^(-1)をかけることで、A^nが A^n=(1/2)[{s^n+t^2,i(-s^n+t^n)},{i(s^n-t^n),s^n+t^n}]と求まる。 従って、 P(n)=A^n P(0)であるから、 P(n)=(1/2)[s^n+t^n,i(s^n-t^n)]…④となる。 ④を用いてP(1)からP(6)の座標を求めるにあたって、次のものを計算しておく。 ~P(1)の計算に必要なもの~ s+t=(a-ib)+(a+ib)=2a s-t=-2bi st=a^2+b^2 ~P(2)の計算に必要なもの~ s^2+t^2 =(s+t)^2-2st =2(a^2-b^2) s^2-t^2 =(s+t)(s-t) =-4abi -P(3)の計算に必要なもの- s^3+t^3 =(s+t)(s^2-st+t^2) =2a(a^2-3b^2) s^3-t^3 =(s-t)(s^2+st+t^2) =-2bi(3a^2-b^2) -P(4)の計算に必要なもの- s^4+t^4 =(s^2+t^2)^2-2(st)^2 =2(a^4-6a^2*b^2+b^4) s^4-t^4 =(s^2-t^2)(s^2+t^2) =-8abi(a^2-b^2) -P(5)の計算に必要なもの- s^5+t^5 =(s+t)^5-5st*(s+t)^3+5(st)^2*(s+t) =2(a^5-10a^3*b^2+5a*b^4) s^5-t^5 =(s-t){s^4+t^4+st(s^2+t^2)+(st)^2} =-2bi(5a^4+b^4-10a^2*b^2) -P(6)の計算に必要なもの- s^6+t^6 =(s^2+t^2)(s^4-s^2*t^2+t^4) =2(a^6-15a^4*b^2+15a^2*b^4-b^6) s^6-t^6 =(s^3-t^3)(s^3+t^3) =-4abi(a^2-3b^2)(3a^2-b^2) これらと④よりP(1)~P(6)の座標が次のように求まる。 P(1)=[a,b] P(2)=[a^2-b^2 ,2ab] P(3)=[a(a^2-3b^2) ,b(3a^2-b^2)] P(4)=[a^4-6a^2*b^2+b^4 ,4ab(a^2-b^2)] P(5)=[a^5-10a^3*b^2+5a*b^4 ,b(5a^4-10a^2*b^2+b^4)] P(6)=[a^6-15a^4*b^2+15a^2*b^4-b^6 ,2ab(a^2-3b^2)(3a^2-b^2)] ここで条件Ⅰ:P(6)=P(0)より a^6-15a^4*b^2+15a^2*b^4-b^6=1…⑤ 2ab(a^2-3b^2)(3a^2-b^2)=0…⑥ ⑥より a=0またはb=0 またはb=±a/√3 またはb=±a√3 (i)a=0のとき、⑤は b^6=-1 解は全て虚数となり、a,bが共に実数であることに反するので不適 (ii)b=0のとき、⑤は a^6=1 実数解はa=-1,1 よって [a,b]=[-1,0],[1,0]…⑦ (iii)b=±a/√3のとき、⑤は a^6=-27/64 虚数となり不適 (iv)b=±a√3のとき、⑤は a^6=1/64 実数解はa=-1/2,1/2 よって [a,b]=[-1/2,-(√3)/2],[-1/2,(√3)/2],[1/2,-(√3)/2],[1/2,(√3)/2]…⑧ 条件Ⅱ:P(1)~P(5)は相異なる について調べる。 ⑦より [a,b]=[-1,0]のとき P(1)=P(3)=P(5)=[-1,0] P(2)=P(4)=[1,0] これは条件Ⅱを満たさないので不適 ⑦より [a,b]=[1,0]のとき P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=[1,0] これは条件Ⅱを満たさないので不適 ⑧より [a,b]=[-1/2,-(√3)/2]のとき P(1)=P(4)=[-1/2,-(√3)/2] P(2)=P(5)=[-1/2,(√3)/2] P(3)=[1,0] これは条件Ⅱを満たさないので不適 ⑧より [a,b]=[-1/2,(√3)/2]のとき P(1)=P(4)=[-1/2,(√3)/2] P(2)=P(5)=[-1/2,-(√3)/2] P(3)=[1,0] これは条件Ⅱを満たさないので不適 ⑧より [a,b]=[1/2,-(√3)/2]のとき P(1)=[1/2,-(√3)/2] P(2)=[-1/2,-(√3)/2] P(3)=[-1,0] P(4)=[-1/2,(√3)/2] P(5)=[1/2,(√3)/2] これは条件Ⅱを満たす ⑧より [a,b]=[1/2,(√3)/2]のとき P(1)=[1/2,(√3)/2] P(2)=[-1/2,(√3)/2] P(3)=[-1,0] P(4)=[-1/2,-(√3)/2] P(5)=[1/2,-(√3)/2] これは条件Ⅱを満たす 以上から条件ⅠとⅡを満たす実数a,bは [a,b]=[1/2,-(√3)/2]、[1/2,(√3)/2] である。

引用元

今日の知恵袋には、こんなご相談もありました。

なんていうか、どうやら少し前からマカロニサラダのことが気になっているんですよね。

さて、ほんじつも元気いっぱい頑張りましょう。。。

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